Métodos simbólicos para sistemas de ecuaciones algebraico-diferenciales
Esta tesis está dedicada al estudio de una clase particular de sistemas genéricos de ecuaciones algebro-diferenciales ordinarias que surgen en la teorıa de control no lineal pero que, además, pueden considerarse como ecuaciones que definen el gráfico de un morfismo diferencial o, simplemente, como u...
Guardado en:
| Autor principal: | |
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| Otros Autores: | |
| Formato: | Tesis doctoral publishedVersion |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2006
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n4002_DAlfonso https://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n4002_DAlfonso_oai |
| Aporte de: |
| Sumario: | Esta tesis está dedicada al estudio de una clase particular de sistemas genéricos de ecuaciones algebro-diferenciales ordinarias que surgen en la teorıa de control no lineal pero que, además, pueden considerarse como ecuaciones que definen el gráfico de un morfismo diferencial o, simplemente, como una familia de ecuaciones polinomiales con un miembro genérico. Nos concentramos principalmente en una presentación alternativa de estos sistemas, la representación resolvente, introducida en el contexto diferencial por J. F. Ritt. Esta representación puede ser interpretada como el análogo diferencial del “shape lemma”, una construcción bien conocida de la geometría algebraica, o del elemento primitivo de extensiones separables de cuerpos o del vector cıclico de sistemas diferenciales lineales de primer orden, y está dada por la codificación de los ceros del sistema por los de una única ecuación polinomial diferencial, vía una equivalencia birracional. Encontramos cotas superiores para el orden y el grado de los polinomios involucrados en dicha representación, en términos del grado de una variedad algebraica intrınseca definida a partir de las derivadas, hasta un orden preestablecido, de las ecuaciones del sistema original, y mostramos con un ejemplo que estas cotas son óptimas. También exhibimos un algoritmo probabilístico que calcula esta representación resolvente en tiempo polinomial en los parámetros sintácticos naturales y en el grado de la variedad mencionada. Nuestro enfoque conduce a nuevos resultados adicionales para los sistemas genéricos considerados, concerniendo dos invariantes discretos bien conocidos: el índice de diferenciación y la función de Hilbert-Kolchin diferencial. Primero, damos una definición precisa y puramente algebraica del índice de diferenciación y mostramos que la función de Hilbert-Kolchin siempre coincide con el polinomio asociado. Segundo, mostramos un algoritmo probabilístico que calcula estos invariantes en tiempo polinomial. Por último, establecemos algunos resultados cuantitativos y algorítmicos relativos a bases de trascendencia diferenciales y a variables ımplicitas y libres determinadas por el índice. |
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