Sobre álgebras de Hilbert

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Hilbert (1923) ha sido el primero en observar que un ciertoconjunto de fórmulas del cálculo preposicional clásico, enlas que sólo figura el conectivo de implicación, tomadas comoaxiomas, permitiría desarrollar un fragmento interesante delcálculo proposicional. Ese fragmento es conocido con el nombre...

Descripción completa

Detalles Bibliográficos
Autor principal: Diego, Antonio
Formato: Tesis Doctoral
Lenguaje:Español
Publicado: 1961
Acceso en línea:https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1092_Diego
Aporte de:
Biblioteca Digital - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA) de Universidad de Buenos Aires
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spelling todo:tesis_n1092_Diego2023-10-03T12:16:29Z Sobre álgebras de Hilbert Diego, Antonio Hilbert (1923) ha sido el primero en observar que un ciertoconjunto de fórmulas del cálculo preposicional clásico, enlas que sólo figura el conectivo de implicación, tomadas comoaxiomas, permitiría desarrollar un fragmento interesante delcálculo proposicional. Ese fragmento es conocido con el nombrede cálculo proposicional implicativo positivo y su estudio seinicia en el primer volumen de los "Grundlagen der Mathematik"de Hilbert y Bernays (1934). Este sistema de la lógica puede ser estudiado con métodosespecíficamente algebraicos, desde que diSponemos de su contrapartealgébrica: la noción de modelo implicativo dada por Henkin (1950). Siguiendo a A.Monteiro llamamos aquí álgebras de Hilberta las álgebras duales de los modelos implicativos. El objeto de este trabajo es dar solución a un problemarelativo a las álgebras de Hilbert libres, planteado por Skolem (1952), el cual consiste en saber si las álgebras de Hilbert librescon número finito de generadores libres son finitas. A esta cuestión damos una respuesta afirmativa e indicamosademás, un procedimiento recursivo para la construcción de todaslas álgebras libres con número finito de generadores libres, aplicándoloa los únicos casos donde es posible, sin ayuda de máquinas,dar la construcción explícita: el álgebra trivial de ungenerador libre, la de dos generadores libres -ya calculada por Skolem-y la de tres generadores libres. La idea clave de este procedimiento de construcción se debea A. Monteiro, quien lo ha aplicado a la determinación de lasálgebras de Heyting lineales libres con número finito de generadoreslibres (1960). En la parte III exponemos el resultado mencionado y damosmatrices características para los cálculos implicativos positivoscon número finito de variables proposicionales. En la parte I exponemos, sin pretensión de originalidad,algunas nociones y resultados que se necesitan para la comprensióndel resto. Indicamos, dando respuesta a un problema que nosplanteara A. Monteiro, una definición ecuacional de las álgebrasde Hilbert. Una presentación de la teoría de las álgebras de Hilbert a partir de una definición por identidades tiene interés enalgunos aspectos, en particular por el hecho de ser inmediatamenteaplicables teoremas del álgebra universal válidos para lasálgebras ecuacionalmente definibles, por ejemplo el que prueba laexistencia de álgebras libres. En la parte I, indicamos como ejemplo de álgebras de Hilbert a los conjuntos ordenados con último elemento, no sabemossi ésto ha sido observado antes. En la parte II damos una caracterización útil de lossistemas deductivos irreductibles y se prueba la existencia de irreductiblesminimales, lo que tiene gran interés para el estudiodel mencionado problema de Skolem. Los dos teoremas de representaciónque damos en 3 y 4, parte II, no son necesarios en laparte III. Uno de estos teoremas es de representación topológica "tipo Stone". Contrariamente a lo que sucede para las álgebrasde Heyting, no se puede afirmar la casi-compacidad del espaciotopológico de representación. Fil: Diego, Antonio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. 1961 Tesis Doctoral PDF Español info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1092_Diego
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