Estimaciones de dimensión para conjuntos de tipo Furstenberg y teoremas de restricción para medidas de Hausdorff
En esta tesis se estudian dos problemas del Análisis Armónico clásico desde el punto de vista de las medidas de Hausdorff. El primero es el problema de Furstenberg, que en su versión clásica se refiere a la determinación de la dimensión de Hausdorff (dim_H ) de los conjuntos de la clase F_α : dado α...
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| Autor principal: | |
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| Formato: | Tesis Doctoral |
| Lenguaje: | Inglés |
| Publicado: |
2010
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n4779_Rela |
| Aporte de: |
| Sumario: | En esta tesis se estudian dos problemas del Análisis Armónico clásico desde el punto de vista de las medidas de Hausdorff. El primero es el problema de Furstenberg, que en su versión clásica se refiere a la determinación de la dimensión de Hausdorff (dim_H ) de los conjuntos de la clase F_α : dado α ∈ (0, 1], un conjunto E ⊆ R^2 está en la clase Fα si para cada e ∈ S existe un segmento unitario l_e en la dirección de e tal que dim_H (l ∩ E) ≥ α. En el caso α = 1, este problema resulta equivalente al problema de Kakeya. Si notamos γ(α) = inf {dim_H (E) : E ∈ Fα }, entonces vale que max {1/2 + α; 2α} ≤ γ(α) ≤ (1 + 3α)/2. (1) En este trabajo se estudia este problema desde una perspectiva más general, en términos de las medidas de Hausdorff h-dimensionales H^h asociadas a funciones de dimensión. Definimos los conjuntos de la clase de Furstenberg F_h asociados a una función h. La hipótesis natural para cada dirección es que H^h (l_e ∩ E) > 0. Generalizamos los resultados conocidos en términos de “saltos logarítmicos” y obtenemos resultados análogos a las cotas clásicas que permiten, además, extender la desigualdad (1) al caso extremo α = 0. Precisamente, se prueba que la función de dimensión apropiada para los conjuntos de la clase F_h no puede ser mucho más chica que h^2 o que la raiz cuadrada de h. Para las cotas superiores exhibimos explícitamente conjuntos en la clase F_h suficientemente chicos. Usamos para eso algunos resultados sobre Aproximación Diofántica,acerca de la dimensión de conjuntos de números “bien aproximables”. Obtenemos resultados acerca de la dimensión de conjuntos en la clase Fαβ, definida como Fα pero sólo para un conjunto L ⊂ S tal que dim_H (L) ≥ β. Probamos una versión de (1) que refleja la interacción entre los parámetros α y β. Este problema fue estudiado también en el conexto general. En segundo lugar se estudió con el mismo enfoque el problema de la Restricción de la Trasformada de Fourier, que se refiere a la posibilidad de darle sentido a la restricción de f a un subconjunto E de R^n . La respuesta depende de la existencia de una medida μ en E con ciertas propiedades de dimensiona- lidad y de decaimiento para su transformada μ. En este contexto se reformuló el teorema de restricción de Stein-Tomas en términos de medidas de Hausdorff. |
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