Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson

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En este trabajo tomaremos en cuenta el problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger–Poisson i∂tu = −∂2x u + V(u) u − f (|u|2) u , donde f representa una interacción local no lineal (tomaremos en cuenta tanto el caso repulsivo f > 0 como el caso atractivo f < 0), V es la solución particul...

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Detalles Bibliográficos
Autor principal:	De Leo, Mariano Fernando
Otros Autores:	Rial, Diego Fernando
Formato:	Tesis doctoral publishedVersion
Lenguaje:	Español
Publicado:	Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 2006
Materias:	SCHRODINGER-POISSON ESTADOS FUNDAMENTALES HIPOTESIS DE NEUTRALIDAD BUEN PLANTEO LEYES DE CONSERVACION EFECTO REGULARIZANTE GROUND STATES NEUTRALITY ASSUMPTION WELL-POSEDNESS CONSERVATION LAWS SMOOTHING EFFECT
Acceso en línea:	https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo https://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n3960_DeLeo_oai
Aporte de:	Repositorio Digital de la Universidad de Buenos Aires (UBA) de Universidad de Buenos Aires

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En el caso atractivo, tales estimaciones son válidas para f 2 C1; no obstante, en el caso repulsivo f > 0 asumiremos que el exponente de f es subcrítico. De estas hipótesis sobre f , tales estimaciones permiten demostrar la existencia de soluciones globales. Pasamos, luego, a un problema variacional y mostramos que la restricción de la energía a una esfera de L2 tiene un mínimo en H siempre que el radio no supere un valor crítico; más aún, demostramos que para radios mayores que el valor crítico la energía no está acotada inferiormente. Luego mostramos que tanto en el caso crítico como en el subcrítico el mínimo resulta ser un estado fundamental para el problema de Cauchy (dado que los estados fundamentales permiten construir soluciones globales tendremos que hacer las mismas consideraciones sobre el exponente de f ). Además demostramos que el valor crítico está dado por la carga total de las impurezas e incluimos una breve discusión acerca de la relevancia física que tiene este fenómeno. Finalmente, retomamos el problema de evolución y mostramos que para s 1 la solución presenta un efecto regularizante que es local en el espacio y en el tiempo; más precisamente, en este problema la solución gana, localmente en el espacio y en el tiempo, media derivada. In this work we take under consideration the Cauchy problem for the Schrödinger– Poisson type equation i∂tu = −∂2x u + V(u) u − f (\|u\|2) u , where f represents a local nonlinear interaction (we take into account both attractive and repulsive models), V is taken as a suitable solution of the Poisson equation : V = 1/2 \|x\| C − \|u\|2 , C 2 C1 c is the doping profile, or impurities. We show that this problem is locally well posed in the weighted Sobolev spaces H := Hs(R) \ L2μ (R) for all s 1, where L2μ (R) := {' 2 L2(R) : R μ(x) \|'\|2 < 1} and μ(x) := (1 + x2)1/2, which means : local existence, uniqueness and continuity of the solution with respect to the initial data. We then introduce a well defined energy functional and show some conservation laws which leads to a priori estimates that are valid for f 2 C1 in the attractive case ; however, if f > 0 such estimates are valid by assuming the exponent of f is subcritical. So, under suitable assumptions on f , we use this estimates to show the existence of global solutions. We turn to a variational problem and show that the restriction of E to a sphere in L2 has attainable minimum which belong to H1\L2μ provided the radius not exceed some critical value; moreover, it is shown that for values of the radius greater than this critical value, energy is not bounded from below. We then show that both in the critical and subcritical instances the minimum is a ground state of the Cauchy problem (since, ground states yield global solutions same assumptions on f shall be made). In addition, we show that this critical value is the total charge given by the impurities, and we briefly discuss the physical relevance of this phenomenon. Finally, and resuming the evolution problem, we establish that for s 1 local in time and space smoothing effects are present in the solution ; more precisely, in this problem there is locally a gain of half a derivative. Fil: De Leo, Mariano Fernando. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. application/pdf https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo spa Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar SCHRODINGER-POISSON ESTADOS FUNDAMENTALES HIPOTESIS DE NEUTRALIDAD BUEN PLANTEO LEYES DE CONSERVACION EFECTO REGULARIZANTE GROUND STATES NEUTRALITY ASSUMPTION WELL-POSEDNESS CONSERVATION LAWS SMOOTHING EFFECT Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson Existence of solutions for a SchrÖdinger-Poisson problem info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion https://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n3960_DeLeo_oai

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