Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson
En este trabajo tomaremos en cuenta el problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger–Poisson i∂tu = −∂2x u + V(u) u − f (|u|2) u , donde f representa una interacción local no lineal (tomaremos en cuenta tanto el caso repulsivo f > 0 como el caso atractivo f < 0), V es la solución particul...
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| Autor principal: | |
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| Otros Autores: | |
| Formato: | Tesis doctoral publishedVersion |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2006
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo https://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n3960_DeLeo_oai |
| Aporte de: |
| Sumario: | En este trabajo tomaremos en cuenta el problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger–Poisson i∂tu = −∂2x u + V(u) u − f (|u|2) u , donde f representa una interacción local no lineal (tomaremos en cuenta tanto el caso repulsivo f > 0 como el caso atractivo f < 0), V es la solución particular de la ecuación de Poisson dada por: V = 1/2 |x| C−|u|2 y C 2 C1 c es el perfil de dopaje, o las impurezas. Demostraremos que el problema está localmente bien planteado en los espacios de Sobolev H := {' 2 Hs(R) : R (1+ x2)1/2 |'|2 < 1}, cualquiera sea s 1; ello significa: existencia local, unicidad y continuidad de la solución con respecto al dato inicial. A continuación, introducimos un funcional de energía y exhibimos algunas leyes de conservación que nos permitirán obtener estimaciones a priori. En el caso atractivo, tales estimaciones son válidas para f 2 C1; no obstante, en el caso repulsivo f > 0 asumiremos que el exponente de f es subcrítico. De estas hipótesis sobre f , tales estimaciones permiten demostrar la existencia de soluciones globales. Pasamos, luego, a un problema variacional y mostramos que la restricción de la energía a una esfera de L2 tiene un mínimo en H siempre que el radio no supere un valor crítico; más aún, demostramos que para radios mayores que el valor crítico la energía no está acotada inferiormente. Luego mostramos que tanto en el caso crítico como en el subcrítico el mínimo resulta ser un estado fundamental para el problema de Cauchy (dado que los estados fundamentales permiten construir soluciones globales tendremos que hacer las mismas consideraciones sobre el exponente de f ). Además demostramos que el valor crítico está dado por la carga total de las impurezas e incluimos una breve discusión acerca de la relevancia física que tiene este fenómeno. Finalmente, retomamos el problema de evolución y mostramos que para s 1 la solución presenta un efecto regularizante que es local en el espacio y en el tiempo; más precisamente, en este problema la solución gana, localmente en el espacio y en el tiempo, media derivada. |
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